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读《数学模型解题》的感悟

发布时间:2014-02-28

    数学高考坚持以“两个有利”(有利高校选拔新生、有利中学教学)为指导思想,严格遵循“考试说明”的规定,内容上不超纲,能力上不超规定层次(了解、理解和掌握、灵活和综合运用),在考查三基(基础知识、基本技能、基本技巧)和四种能力(逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力、分析和解决问题的能力)的同时,侧重考查教材中的主要内容、数学思想方法和应用意识,特别是突出考查数学学科的思维能力。
   函数平均每年占高考总分的13.8%,考查的知识背景为幂、指、对及一般函数的概念、定义域、值域、反函数;函数的性质、函数的单调性、奇偶性、周期性;函数的图像等。
   三角函数平均每年占高考总分的12.6%,考查的知识背景是三角函数的概念、性质、以及有关公式的应用,以常规题居多。
   解(证)不等式平均每年占高考总分的11.2%,考查的知识背景为不等式的性质、定理;立几、数列中的最值问题以及解几中的范围问题。
   数列、极限和数学归纳法平均每年占高考总分的13.8%,考查的知识背景为等差(比)数列的概念与计算公式;数列、极限的概念与求法。
   线面间的位置关系平均每年占高考总分的11.8%,考查的知识背景为线面间的平行、垂直性质与判定及有关概念。每年均为阅读理解型试题。
   圆锥曲线平均每年占高考总分的11.7%,考查的知识背景为圆锥曲线的定义、性质及解几中的基本数学思想方法。进一步注重通性通法的考查,继续突出主体内容(函数、方程、不等式、数列和圆锥曲线等),淡化某些不宜升温的知识(递推数列、复数和立体几何等),做好向新高中教材过渡的准备。
   应用题将适当控制对建模能力难度的考查,减少普通语言转译为数学语言的难度,既注意贴近生活,又注意靠近课本。探索性综合题和信息迁移题不可能增加难度,如数列综合题仍以归纳猜想为主要形式。
   一、应用问题
   应用问题的“考试要求”是考查考生的应用意识和运用数学知识与方法来分析问题解决问题的能力,这个要求分解为三个要点:
   1、要求考生关心国家大事,了解信息社会,讲究联系实际,重视数学在生产、生活及科学中的应用,明确“数学有用,要用数学”,并积累处理实际问题的经验。
   2、考查理解语言的能力,要求考生能够从普通语言中捕捉信息,将普通语言转化为数学语言,以数学语言为工具进行数学思维与交流。
   3、考查建立数学模型的初步能力,并能运用“考试说明”所规定的数学知识和方法来求解。
   对应用题,考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能力上。实际问题转化为数学问题,关键是提高阅读能力即数学审题能力,审出函数、方程、不等式、等式,要求我们读懂材料,辨析文字叙述所反应的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质,抽象其中的数量关系,将文字语言叙述转译成数学式符号语言,建立对应的数学模型解答。可以说,解答一个应用题重点要过三关:一是事理关,即读懂题意,需要一定的阅读理解能力;二是文理关,即把文字语言转化为数学的符号语言;三是数理关,即构建相应的数学模型,构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力。
   求解应用题的一般步骤是(四步法):
   1、读题:读懂和深刻理解,译为数学语言,找出主要关系;
   2、建模:把主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题;
   3、求解:化归为常规问题,选择合适的数学方法求解;
   4、评价:对结果进行验证或评估,对错误加以调节,最后将结果应用于现实,作出解释或验证。
   在近几年高考中,经常涉及的数学模型,有以下一些类型:数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等等。
   二、探索性问题
   近年来,随着社会主义经济建设的迅速发展,要求学校由“应试教育”向“素质教育”转化,培养全面发展的开拓型、创造型人才。在这种要求下,数学教学中开放型问题随之产生。于是,探索性问题成了近几年来高考命题中的热点问题,它既是高等学校选拔高素质人材的需要,也是中学数学教学培养学生具有创造能力、开拓能力的任务所要求的。实际上,学生在学习数学知识时,知识的形成过程也是观察、分析、归纳、类比、猜想、概括、推证的探索过程,其探索方法是学生应该学习和掌握的,是今后数学教育的重要方向。
   一般地,对于虽给出了明确条件,但没有明确的结论,或者结论不稳定,需要探索者通过观察、分析、归纳出结论或判断结论的问题(探索结论);或者虽给出了问题的明确结论,但条件不足或未知,需要解题者寻找充分条件并加以证明的问题(探索条件),称为探索性问题。此外,有些探索性问题也可以改变条件,探讨结论相应发生的变化;或者改变结论,探讨条件相应发生的变化;或者给出一些实际中的数据,通过分析、探讨解决问题。
   探索性问题一般有以下几种类型:猜想归纳型、存在型问题、分类讨论型。
   猜想归纳型问题是指在问题没有给出结论时,需要从特殊情况入手,进行猜想后证明其猜想的一般性结论。它的思路是:从所给的条件出发,通过观察、试验、不完全归纳、猜想,探讨出结论,然后再利用完全归纳理论和要求对结论进行证明。其主要体现是解答数列中等与n有关数学问题。
   存在型问题是指结论不确定的问题,即在数学命题中,结论常以“是否存在”的形式出现,其结果可能存在,需要找出来,可能不存在,则需要说明理由。解答这一类问题时,我们可以先假设结论不存在,若推论无矛盾,则结论确定存在;若推证出矛盾,则结论不存在。代数、三角、几何中,都可以出现此种探讨“是否存在”类型的问题。
   分类讨论型问题是指条件或者结论不确定时,把所有的情况进行分类讨论后,找出满足条件的条件或结论。此种题型常见于含有参数的问题,或者情况多种的问题。
   探索性问题,是从高层次上考查学生创造性思维能力的新题型,正确运用数学思想方法是解决这类问题的桥梁和向导,通常需要综合运用归纳与猜想、函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化与非等价转化等数学思想方法才能得到解决,我们在学习中要重视对这一问题的训练,以提高我们的思维能力和开拓能力。